Verdades escolhidas

A teoria das probabilidades é um ramo da matemática e, como todos os ramos da matemática, está fundada num conjunto de verdades absolutas e indemonstráveis – os axiomas.

Os axiomas da teoria das probabilidades são três e fáceis de enunciar: […] É sobre estas três verdades simples e indemonstráveis que se contrói em seguida todo o edifício da teoria das probabilidades e da estatística matemática.

É possível questionar, rejeitar até, os axiomas? É, mas quem os rejeitar não terá uma teoria das probabilidades e todos os benefícios que dela resultam; pelo contrário, quem quiser ter uma teoria das probabilidades – e, depois, também, o corpo teórico da inferência estatística – tem de aceitar os axiomas como um acto de fé. A escolha é simples. Eu consagrava sempre muito tempo a esta parte da matéria e só depois prosseguia pela teoria fora, enunciando os teoremas e demonstrando-os, derivando os corolários, etc. Mas que ficasse bem claro: os axiomas não são demonstráveis.

Pedro Arroja.

Nada a apontar à constatação final de Pedro Arroja no artigo abaixo citado, de que os axiomas, por definição, não se demonstram. Mas, quanto a mim, parece transpirar da generalidade das palavras do artigo em causa um equívoco: o de que os axiomas são Verdade, e de que a adesão aos axiomas é um acto de fé. Ora, quanto a mim, pela definição de axioma, tal não deixa de ser falso.

Um axioma, por definição, não é uma Verdade revelada, não é sequer uma verdade empírica ou, no limite, nem precisa de ser verdadeira no sentido de ser corroborada pela verdade dos factos tangíveis. Um axioma é o resultado de uma convenção, associado geralmente a um determinado domínio de aplicabilidade, não sendo mais que uma proposição que se convenciona, portanto, ser verdadeira para além da demonstrabilidade ou da realidade dos factos. O estabelecimento de um axioma é uma ferramenta, um building block para uma determinada teoria sustentada por uma sucessão auditável e rastreável (racional) de inferências originadas desses axiomas. É válido enquanto for útil per se, não for substituído por um conjunto de axiomas que permitam generalizar a um domínio mais amplo que inclua o da teoria anterior anterior, ou enquanto não se concluir estar demasiado afastado da realidade física para ser útil.

Além disso, Pedro Arroja está, penso, equivocado noutra questão: a rejeição de um axioma não se conjuga com a perda irreparável e total de toda a teoria que foi derivada a partir de si, nem implica a perda dos seus “benefícios”. Não é, necessariamente, uma decisão de “tudo ou nada”, e sobre isso não faltam exemplos na História, concretamente no caso da Matemática e da Física.

No caso da Matemática, temos o exemplo da denominada Geometria Euclidiana. Um dos axiomas desta teoria postula (interpretativamente) que a soma dos ângulos internos de um triângulo é de 180 graus. Baseando-se neste axioma (conjugado com outros), foi desenvolvido todo um edifício de teoria da geometria, que durante muito tempo resolveu problemas e permitiu aplicações derivadas em outras ciências. Contudo, em termos de domínio de aplicação, a determinada altura constatou-se que esses axiomas, nomeadamente o em discussão, estavam restritos à geometria do plano, bidimensional, e que não escalavam para a geometria n-dimensional que se tornava desejada de formulação nos outros domínios científicos. Por exemplo, um triângulo inscrito na superfície de uma esfera define angulos internos cuja soma excede os 180 graus.

O facto de a teoria baseada nesse axioma se ter tornado limitada não tornou a Geometria Euclidiana obsoleta nem a riscou dos livros de Matemática. Tão somente permitiu, constatando a sua limitação ao novo domínio que se queria abraçar, concluir que não se ajustava e que tinha que ser estabelecido um novo conjunto de axiomas. E assim vivemos felizes e contentes com a Geometria Não-Euclideana convivendo saudavelmente com a Geometria Euclideana, cada qual cumprindo as suas funções, aplicadas aos domínios em que são úteis.

Na Física tivemos exemplos semelhantes. Durante muito tempo, a Física Newtoniana postulou a constância da velocidade da luz*, até que os domínios de aplicação onde se desejava aplicá-la revelaram as suas limitações, tendo sido substituída como teoria geral pela Física Relativista, não obstante mantendo-se o seu uso em domínios de aplicabilidade restritos e em que o seu uso fosse consciente das suas limitações.

No harm done.

Para concluir, a Fé não é para nada aqui chamada, no que toca a axiomas. Estes são escolhas conscientes, auto-contidas e auto-esclarecidas. E com validade limitada no tempo, tempo durante o qual, sim, se convenciona a sua verdade proposicional absoluta.

*Adenda: quando me referi à Física Newtoniana cometi, lamentavelmente, um lapso. O que pretendia dizer é que as considerações desta de linearidade do tempo e da variação da distância entre dois observadores em que um deles se desloca a velocidade constante do outro foram substituídos na Física Relativista por conceitos de tempo e distancia relativos, subordinados a um novo axioma que estipula a constância da velocidade da luz no vazio. As minhas desculpas pelo erro.

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6 pensamentos sobre “Verdades escolhidas

  1. “Contudo, em termos de domínio de aplicação, a determinada altura constatou-se que esses axiomas, nomeadamente o em discussão, estavam restritos à geometria do plano, bidimensional, e que não escalavam para a geometria n-dimensional que se tornava desejada de formulação nos outros domínios científicos.”

    Restritos à geometria do plano? Porquê? É frequente trabalhar a 3 dimensões com a geometria Euclideana. Acima disso, também me parece que podemos usar a geometria Euclideana, o único problema é que já não a podemos associar à realidade.

    Apesar de não conhecer as geometrias não-Euclideanas a fundo, parece-me que estas têm mais dificuldade em escalar do que a Euclideana.

    As geometrias não-Euclideanas permitem-nos estudar o mundo de outras perspectivas.

    Mas concordo quando diz que os axiomas não passam de convenções, e há vários casos em que se obtêm teorias consistentes quer se aceite um axioma como válido, quer se considere o mesmo falso.

  2. Nuno Ribeiro

    Bom post. Obviamente que um axioma pode não ter nada a ver com a realidade física. Os axiomas matemáticos nada dizem acerca da realidade. Já os axiomas físicos são propostos de forma a criar um modelo que se adapte á realidade. Mas para se manterem têm de suportar os testes da experiência cientifica, caso contrário serão rejeitados.
    Observação1: como o Rui Carlos Gonçalves disse a geometria euclideana não tem a ver com o nº de dimensões. A geometria não euclideana diz respeito a espaços curvos.
    Observação2: a constância da velocidade da luz para diferentes referenciais foi proposta por Einstein na relatividade restrita.

  3. João Luís Pinto

    Caro Rui Carlos Gonçalves,

    “É frequente trabalhar a 3 dimensões com a geometria Euclideana.”

    Quando me refiro a ser restrita à geometria do plano, não quero dizer que não se possa utilizar a GE num espaço n-dimensional, partindo do princípio que se estão a restringir todas as dimensões superiores a dois. Ou seja, um triângulo inscrito num plano num espaço tridimensional, por exemplo, continua a ser um domínio válido da GE.

    “Apesar de não conhecer as geometrias não-Euclideanas a fundo, parece-me que estas têm mais dificuldade em escalar do que a Euclideana.”

    Depende do que quer dizer com “escalar”. O que eu queria dizer era que se aplicavam a um domínio mais genérico. Ou seja, a GE e essencialmente um caso particular da GNE.

    “As geometrias não-Euclideanas permitem-nos estudar o mundo de outras perspectivas.”

    Mais até do que permitir estudar o “mundo” (numa acepção mais ligada à descrição da realidade) permitem-nos principalmente produzir abstracções que potenciam a criação de ferramentas de análise mais complexas e poderosas. Ou seja, tão válida como a sua utilização como linguagem para descrever a realidade física é a sua utilização como ferramenta abstracta de representação e construção do conhecimento.

  4. João Luís Pinto

    Caro Nuno Ribeiro,

    Acho que a distinção entre “axiomas matemáticos” e “axiomas físicos” é desnecessária. O valor de um axioma não deriva da capacidade de o verificar experimental e empiricamente, mas essencialmente da utilidade que dele se possa derivar e do seu domínio de aplicação. E podem manter-se úteis mesmo verificando-se a limitação do seu domínio ou a distância para a realidade empírica em algumas situações, como acontece no exemplo que citei da Mecânica Clássica. A Mecânica Relativista não enterrou de vez a MC. Esta continuou a ser útil, conhecendo-se das suas limitações e limitada ao domínio em que continuava a ser uma boa aproximação.

    Quanto à sua segunda observação, tem toda a razão e foi um lapso meu que já vou corrigir no artigo.

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